Mi a matematika? – A matematikai igazságról

Ezzel szemben, ha a matematikában azt mondjuk, hogy egy dodekaédernek 30 éle van, ez pontos és megkérdőjelezhetetlen állítás. Nincs két egyforma tojás, ezzel szemben egy téglalap átlói pontosan egyenlők. Minden, ami van, változik – idézik Hérakleitoszt –, biztosat csak arról tudhatunk, ami változatlan, mint például a páros meg a páratlan, a kör meg az egyenes. Szókratész hozzátesz egy bűnügyi példát: egy pert említ, amelyben a vádlottnak sem bűnösségét, sem ártatlanságát nem lehetett teljes bizonyossággal megállapítani.

A mindennapi élet igazságai tehát bizonytalanok, ellenőrizhetetlenek, gyakran megállapíthatatlanok. Pilátus kérdése: „micsoda az igazság?” is valami ilyesmire vonatkozik. (A modern fordítások hozzáteszik, hogy Pilátus legyint vagy vállat von, amikor ezt kérdezi. A kérdés csak Jánosnál szerepel; jellemző, hogy a valóságra vonatkozó igazság megkérdőjelezését éppen egy görög szerző tartotta fontosnak beilleszteni a történetbe.) Ha tehát abszolút igazságot keresünk, csak a szellemi világban találhatjuk meg. De melyikben? A vallások igazságai ellentmondanak egymásnak, a filozófia igazságai úgyszintén. A társadalomtudományok igazságai gyakran az ideológia, az eszmei alapállás függvényei. Maradnának a „kemény” természettudományok. Ezeknél viszont az új kísérleti eredmények állandóan módosítják vagy pontosítják a korábban megállapított igazságokat, néha meg éppenséggel felrúgják azokat (ezt szokták „paradigmaváltásnak” nevezni).

Úgy tűnik tehát, hogy csakis a matematika képes abszolút és megdönthetetlen igazságokat megállapítani. Milyen módon teszi ezt? Térjünk vissza a Dialógushoz. Szókratész rávilágít, hogy ennek a titka abban áll, hogy a matematika nem a bizonytalan és megfoghatatlan létezőkkel, hanem „elgondolt dolgokkal” (számokkal és absztrakt formákkal) foglalkozik, amelyeket precízen definiál minden kétértelműség nélkül, éppen azért és úgy, hogy a róluk megállapított igazságok megkérdőjelezhetetlenek legyenek. „Így könnyű!” – mondhatnánk erre. És valóban, így tekintve, a matematika nem más, mint absztrakt fogalmakkal való játék, és ha az igazságai abszolútak is, az igazságainak érvénye egy elvont, távoli, nem létező világra szorítkozik. Mi értelme van ennek? Nos, erre a kérdésre Szókratész így válaszol a Dialógusban: a matematika igazságai végül is a valóságról szólnak. Ha a kör egy tulajdonságát megismerjük, ezzel minden kör alakú dologról megtudunk valamit. Éppen azért kell elvonatkoztatni, hogy a részletek ne zavarjanak. A valóság bonyolult viszonyait tesszük átláthatóvá és vizsgálhatóvá, ha meszszebbről nézve, az absztraktum felől tekintünk rájuk. Mint tudjuk, Galilei egyenesen úgy fogalmazott (bár nem pontosan ezekkel a szavakkal), hogy a természet nyelve a matematika.

Meg kell azonban jegyezni, hogy nem mindenkit győz meg ez az egyszerűnek látszó érvelés. Wigner Jenő egy híres tanulmányában ezt a kérdést boncolgatva, így fogalmaz: „A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem is érdemlünk meg.” Mégis a matematika és a valóság szoros kapcsolata kétségbevonhatatlan. Mindenki tudja, hogy a matematika eredményei nélkül nem lennének hidak, mobiltelefonok és nem lenne internet. De a kapcsolat fordítva is létezik: a matematika fejlődésének egyes forradalmi szakaszait (bár nem mindegyiket) egyértelműen a valóság megismerésének a vágya motiválta. Ilyen forradalom volt a kalkulus (a differenciál- és integrálszámítás) és a valószínűségszámítás megalkotása a 17. században, a modern analízis fejlődése a 18. és 19. században vagy a kombinatorika és a dinamikus rendszerek elméletének megteremtése a 20. században.

A matematikus tehát abszolút igazságokat kutat. Hogyan csinálja ezt? Lehet-e még új igazságokra bukkanni a matematikában? Egyáltalán mivel foglalkozik egy matematikus? Nos, a matematikusok problémákat oldanak meg és elméleteket gyártanak. Ez a két tevékenység tulajdonképpen ugyanaz: egy nehéz probléma megoldásához általában elméletet kell gyártani (vagy a módszerből elmélet lesz később), egy elmélet megalkotása pedig sok kis lépésből áll, és minden lépés egy-egy probléma megoldását jelenti.

De vajon megoldható-e minden matematikai probléma? Itt két kérdéssel kell szembenéznünk. Az egyik (gyakorlati) kérdés az, hogy egy probléma megoldása olyan bonyolult és olyan hosszú lehet, hogy soha nem fogunk rátalálni. A csoportelmélet egy régi problémája volt az úgynevezett véges egyszerű csoportok osztályozása. Ezt a problémát nemrégiben megoldották: a megoldás leírva több mint 1000 oldal. Fermat híres sejtését Andrew Wiles 1994-ben megoldotta. A megoldása leírva 200 oldal, de ha hozzávesszük a teljes elméletet a szükséges előzetes tudnivalókkal együtt, ennek a sokszorosát kapjuk. Ugyanez érvényes a Poincaré-sejtés Perelmann-féle megoldására. Ezek a számok egy bölcsész számára talán nem tűnnek elrettentőnek, de gondoljunk bele, hogy a matematikai szövegek nagyon tömörek; minden képlet, minden sor akár órákig tartó meggondolást igényelhet. Egy 20 oldalas dolgozat már kényelmetlenül hosszúnak számít. Riemann korszakalkotó dolgozata, amely a Riemann-sejtést is tartalmazza, 7 oldalnyi.

Korántsem elképzelhetetlen, hogy egy probléma legrövidebb megoldása is hosszabb lehet, mint amit egy emberélet alatt meg lehetne találni. És hiába kollektív tudomány a matematika, hiába használhatjuk fel az elődeink eredményeit, végül is könnyen lehet, hogy az emberiség életkora is véges, és így sosem találunk meg egy olyan megoldást, amelynek a megértése (a felfedezése meg különösen) még ennél is hosszabb időt venne igénybe. Ez olyan lehetőség, amelyen nem tudunk segíteni, tehát bele kell nyugodnunk.

Ettől azonban még elképzelhető volna, hogy legalábbis elvben (és ha volna rá elég időnk) minden problémát meg tudunk oldani. David Hilbert életének legnagyobb részében szilárdan hitt ebben. Az 1900-as párizsi előadásában is kifejtette azt a meggyőződését, hogy előbb-utóbb minden szabatosan megfogalmazott problémát meg tudunk oldani. Vagy úgy, hogy megtaláljuk a megoldáshoz vezető módszert, vagy pedig úgy, hogy bebizonyítjuk a megoldás lehetetlenségét, ahogy az a klasszikus geometriai problémák esetében történt. Hilbert egész életében propagálta ezt a nézetet, és egyik célja volt, hogy az egész matematika axiomatikus alapokra való helyezésével belássa, hogy minden probléma megoldható. Erről szól jelmondata, mely a síremlékén is olvasható: „Wir müssen wissen, wir werden wissen” („Tudnunk kell – tudni fogunk”).

Ezért óriási szenzációt keltett, amikor 1930-ban Kurt Gödel bebizonyította, hogy Hilbert célja elérhetetlen: minden „valamirevaló” axiómarendszerben vannak olyan állítások, amelyeket sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet az adott rendszerben. Ez a szenzáció a matematikán kívül még ma sem ült el egészen. A matematikusok hamar túltették magukat ezen a fejleményen. (A matematikusok a kellemetlen tényekkel való szembenézésben verhetetlenek. Mindenkinek hasznára válna, ha legalább ebben a tekintetben követné őket.) A helyzet az, hogy Gödel tétele egyáltalán nem érinti a matematikai igazságok abszolút voltát. Ha egy matematikai igazság bizonyítást nyer, éppúgy abszolút és örök érvényű marad Gödel tétele után, mint volt Gödel tétele előtt. A különbség abban áll, hogy egy problémát vizsgálva, nem tudhatjuk eleve, hogy megoldható problémával állunk-e szemben, vagy pedig olyannal, amit elvileg sem lehet eldönteni. Ez tulajdonképpen a matematikai kutatást még izgalmasabbá teszi. Egyes területeken (a halmazelméletben, a topológiában, az analízisben) nem is olyan ritka, hogy egy problémáról kiderül, hogy sem bizonyítani, sem pedig cáfolni nem lehet, az adott axiómákat elfogadva. Ha egy ilyen kérdés fontos, vagy sokszor felbukkan, akkor axiómaként kell kezelnünk, és meg kell vizsgálnunk a következményeit, és ugyanezt kell tennünk a tagadását feltételezve. Így az elméletek egy színes együttese jön létre, amelyek logikai kapcsolata külön vizsgálatok tárgyát képezi.

A számelméletben még nem találkoztunk olyan kérdésekkel, amelyekről bebizonyosodott volna, hogy eldönthetetlenek. Gödel bebizonyította, hogy ilyen kérdések vannak, sőt a bizonyításában konstruált is ilyen állításokat. Ezek azonban bonyolult, technikai jellegű állítások, és nem a számok relatíve egyszerű tulajdonságait firtató, áttekinthetően megfogalmazott kérdések, mint amilyen például a végtelen sok tökéletes szám létezésére vonatkozó probléma. De nem kételkedhetünk abban, hogy ilyen problémák is lehetnek eldönthetetlenek.

De vajon olyan nagy baj ez? Mit jelentett volna, ha Hilbert álma igaznak bizonyul? Azt, hogy a matematikai állítások eldöntése algoritmikusan megoldható. Más szóval, hogy kész recept, automatikus eljárás létezne minden probléma eldöntésére, és hogy ezt végső soron egy komputer, egy gép is el tudja végezni. Gödel megmutatta, hogy nem ez a helyzet, vagyis az ember leleményessége és intuíciója nem nélkülözhető a matematikai kutatásokban. Végül is Gödel csak azt bizonyította, amit minden matematikus amúgy is tudott, vagyis hogy a matematika nemcsak tudomány, hanem művészet is. (A Mindentudás Egyetemén elhangzott előadás részlete/szerkesztett változata)